Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume dos sólidos que resultam ao girar a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
ao redor do eixo x. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva
é uma parábola que abre para cima. A linha
é o eixo x, e a linha vertical
corta a parábola nesse ponto. Então, a área que vamos girar está entre
e
sob a curva da parábola.
Passo 3
Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula que usamos é:
Aqui,
é a função que define a fronteira da região, que no nosso caso é
, e
e
são os limites de integração, que vão de 0 a 2.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Agora, vamos simplificar
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Podemos fatorar o 4 da integral:
Agora, precisamos calcular a integral de
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos fazendo uma avaliação definida.
Passo 6
Vamos avaliar a integral de 0 a 2:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.