Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x.
y=2 x^2, y=0, x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume dos sólidos que resultam ao girar a região delimitada pelas curvas y = 2x^2 , y = 0 (que é o eixo x) e x = 2 ao redor do eixo x. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva y = 2x^2 é uma parábola que abre para cima. A linha y = 0 é o eixo x, e a linha vertical x = 2 corta a parábola nesse ponto. Então, a área que vamos girar está entre x = 0 e x = 2 sob a curva da parábola.

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula que usamos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que define a fronteira da região, que no nosso caso é y = 2x^2 , e a e b são os limites de integração, que vão de 0 a 2.

Passo 4

Vamos substituir f(x) na fórmula:
V = pi integral0^2 (2x^2)^2 , dx
Agora, vamos simplificar (2x^2)^2 :
(2x^2)^2 = 4x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral0^2 4x^4 , dx

Passo 5

Podemos fatorar o 4 da integral:
V = 4pi integral0^2 x^4 , dx
Agora, precisamos calcular a integral de x^4 :
integral x^4 , dx = x^55 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos fazendo uma avaliação definida.

Passo 6

Vamos avaliar a integral de 0 a 2:
[ x^55 ]0^2 = 2^55 - 0^55 = 325 - 0 = 325

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na expressão do volume:
V = 4pi times 325 = 1285 pi

Resposta

O volume do sólido obtido é 1285 pi unidades cúbicas.

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