Questão 2 O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série de potências
que converge no ponto
. O conteúdo aqui é raio de convergência de séries de potências, e vamos usar a definição
que diz que a série converge absolutamente para todo
e diverge para todo
.
Passo 2
Como a série converge em
, isso significa que
(ou, mais forte,
, mas não precisamos dessa distinção agora). Para a série (a) temos
, logo
. Como
, a teoria garante convergência absoluta. Portanto a série em (a) converge.
Passo 3
Para a série (b) temos
, logo
. Isso coloca
na fronteira do disco de convergência (
). A teoria garante convergência apenas para
e divergência para
, mas no caso
o comportamento pode variar: a série pode convergir ou divergir dependendo dos coeficientes
. Não há garantia de convergência em geral.
Passo 4
Para ilustrar que em
a série pode divergir, considere o exemplo
então
converge (série alternada), mas
que diverge. Assim, a série em (b) não converge necessariamente.
Resposta
a) Sim, converge.
b) Não necessariamente converge.
b) Não necessariamente converge.