Questão 2 O fato de sumn=0^+infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
(a) sumn=1^+infty cn(-2)^n.
(b) sumn=1^+infty cn(-4)^n.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências sumn=0^inftycnx^n que converge no ponto x=4. O conteúdo aqui é raio de convergência de séries de potências, e vamos usar a definição
R=1limsupntoinftyraiz[n]|cn|
que diz que a série converge absolutamente para todo |x|<R e diverge para todo |x|>R.

Passo 2

Como a série converge em x=4, isso significa que |4|<= R (ou, mais forte, |4|<R, mas não precisamos dessa distinção agora). Para a série (a) temos x=-2, logo |-2|=2<4<= R. Como |x|<R, a teoria garante convergência absoluta. Portanto a série em (a) converge.

Passo 3

Para a série (b) temos x=-4, logo |-4|=4. Isso coloca x na fronteira do disco de convergência ( |x|=R). A teoria garante convergência apenas para |x|<R e divergência para |x|>R, mas no caso |x|=R o comportamento pode variar: a série pode convergir ou divergir dependendo dos coeficientes cn. Não há garantia de convergência em geral.

Passo 4

Para ilustrar que em |x|=R a série pode divergir, considere o exemplo
cn=(-1)^nn,4^n
então
sumn=1^inftycn4^n=sumn=1^infty(-1)^nn
converge (série alternada), mas
sumn=1^inftycn(-4)^n=sumn=1^infty1n
que diverge. Assim, a série em (b) não converge necessariamente.

Resposta

a) Sim, converge.
b) Não necessariamente converge.

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