(5,0) Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
(1,25) \int \frac{x^{3}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedem para calcular a integral \displaystyle \int \frac{x^{3}+3x+1}{x^{2}-2x-3}\,dx.
  • Informação útil: o integrando é uma função racional (quociente de polinômios). O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2.

Passo 2

Como o grau do numerador ( 3) é maior ou igual ao do denominador ( 2), primeiro fazemos a divisão polinomial para escrever a função como polinômio + fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Dividindo x^{3}+0x^{2}+3x+1 por x^{2}-2x-3:
  • Primeiro termo do quociente: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Multiplicando o divisor por x obtém-se x^{3}-2x^{2}-3x.
  • Subtraindo: (x^{3}+0x^{2}+3x) - (x^{3}-2x^{2}-3x) = 2x^{2}+6x. Baixa o +1: 2x^{2}+6x+1.
  • Próximo termo do quociente: \dfrac{2x^{2}}{x^{2}}=2. Multiplicando o divisor por 2 obtém-se 2x^{2}-4x-6.
  • Subtraindo: (2x^{2}+6x+1)-(2x^{2}-4x-6)=10x+7, que é o resto (grau menor que o divisor).
Portanto
\frac{x^{3}+3x+1}{x^{2}-2x-3}=x+2+\frac{10x+7}{x^{2}-2x-3}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador para usar frações parciais:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),
pois (-3)\cdot 1=-3 e (-3)+1=-2.
Então a parte própria fica
\frac{10x+7}{x^{2}-2x-3}=\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}.

Passo 4

Aplicamos decomposição em frações parciais: procuramos A\) e \(B\) tais que \[\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1) obtemos a identidade
10x+7 = A(x+1)+B(x-3).
Expandindo o lado direito:
10x+7 = (A+B)x + (A-3B).
Igualando coeficientes de x e termo independente:
\begin{cases} A+B=10,\\[4pt] A-3B=7. \end{cases}
Resolvendo: subtraindo a segunda da primeira,
(A+B)-(A-3B)=10-7 \implies 4B=3 \implies B=\tfrac{3}{4}.
Então (A=10-B=10-\tfrac{3}{4}=\tfrac{37}{4}].
Portanto
\frac{10x+7}{(x-3)(x+1)}=\frac{37/4}{x-3}+\frac{3/4}{x+1}.]

Passo 5

Reescrevendo o integrando com tudo separado:
\frac{x^{3}+3x+1}{x^{2}-2x-3}=x+2+\frac{37/4}{x-3}+\frac{3/4}{x+1}.
Integramos termo a termo. Lembrando as regras básicas:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
  • \displaystyle \int a\,dx = ax + C para constante a.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Aplicando:
\int\Big(x+2+\frac{37/4}{x-3}+\frac{3/4}{x+1}\Big)\,dx = \frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{37}{4}\ln|x-3|+\frac{3}{4}\ln|x+1|+C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{37}{4}\ln|x-3|+\frac{3}{4}\ln|x+1|+C

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