Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedem para calcular a integral
. - Informação útil: o integrando é uma função racional (quociente de polinômios). O numerador tem grau
e o denominador tem grau .
Passo 2
Como o grau do numerador (
) é maior ou igual ao do denominador (
), primeiro fazemos a divisão polinomial para escrever a função como polinômio + fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Dividindo
por
:
- Primeiro termo do quociente:
. Multiplicando o divisor por obtém-se . - Subtraindo:
. Baixa o : . - Próximo termo do quociente:
. Multiplicando o divisor por obtém-se . - Subtraindo:
, que é o resto (grau menor que o divisor).
Portanto
Passo 3
Agora fatoramos o denominador para usar frações parciais:
pois
e
.
Então a parte própria fica
Passo 4
Aplicamos decomposição em frações parciais: procuramos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes de
e termo independente:
Resolvendo: subtraindo a segunda da primeira,
Então (A=10-B=10-\tfrac{3}{4}=\tfrac{37}{4}].
Portanto
Passo 5
Reescrevendo o integrando com tudo separado:
Integramos termo a termo. Lembrando as regras básicas:
-
. -
para constante . -
.
Aplicando: