Determine as integrais dadas por:
integral 23 x(x^2-5)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 23,x,(x^2-5)^3,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos uma função composta (x^2-5)^3 e seu “quase-derivada” x,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2-5,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
o fator tfrac23x,dx vira
23,x,dx = 23cdotdu2 = du3,
e (x^2-5)^3=u^3. Assim
integral 23,x,(x^2-5)^3,dx = integral u^3,du3 = 13integral u^3,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u^3,du = u^44,
portanto
13integral u^3,du = 13cdotu^44 = u^412 + C
Voltando a x, u=x^2-5.

Resposta

(x^2-5)^412 + C

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