Seja
uma função com domínio
. Por sup
designa-se o supremo do conjunto
.
Suponha agora apenas que
e
são funções limitadas superiormente.
Prove que
é uma cota superior do conjunto
.
Suponha agora apenas que
Prove que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A questão trata de funções limitadas superiormente, ou seja, funções cujo conjunto de valores não excede certo limite. Temos duas funções,
e
, definidas no mesmo domínio
e ambas são limitadas superiormente. Queremos provar que a soma dos supremos dessas funções,
, é uma cota superior para o conjunto dos valores da função
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de supremo e cota superior, além de saber como manipular essas propriedades quando somamos funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é limitada superiormente. Dizemos que
é limitada superiormente se existe um número real que serve como limite para todos os valores de
quando
varia em
. O supremo de
, denotado por
, é o menor desses limites superiores. Ou seja, é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que
assume em
.
O mesmo vale para a função
, com seu supremo
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é uma cota superior para o conjunto
. Uma cota superior para esse conjunto é um número que é maior ou igual a todos os valores de
para qualquer
em
.
Passo 4
Vamos pegar um elemento qualquer do conjunto
. Seja
um elemento de
. Então, temos:
Como
é o menor limite superior de
, sabemos que para todo
:
De maneira similar, para a função
:
Passo 5
Agora, somando as duas desigualdades acima, obtemos:
Isso mostra que para qualquer
, o valor
não excede
.
Passo 6
Como mostramos que
para todo
, isso significa que
é, de fato, uma cota superior para o conjunto
.
Resposta
Portanto,
é uma cota superior do conjunto
.