Seja f uma função com domínio D. Por sup f designa-se o supremo do conjunto f(D)=f(x): x in D.
Suponha agora apenas que f: D R e g: D R são funções limitadas superiormente.
Prove que M=sup f+sup g é uma cota superior do conjunto (f+g)(D)=(f+g)(x): x in D.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A questão trata de funções limitadas superiormente, ou seja, funções cujo conjunto de valores não excede certo limite. Temos duas funções, f e g , definidas no mesmo domínio D e ambas são limitadas superiormente. Queremos provar que a soma dos supremos dessas funções, M = sup f + sup g , é uma cota superior para o conjunto dos valores da função f + g .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de supremo e cota superior, além de saber como manipular essas propriedades quando somamos funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é limitada superiormente. Dizemos que f: D R é limitada superiormente se existe um número real que serve como limite para todos os valores de f(x) quando x varia em D . O supremo de f , denotado por sup f , é o menor desses limites superiores. Ou seja, é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que f assume em D .
O mesmo vale para a função g , com seu supremo sup g .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que M = sup f + sup g é uma cota superior para o conjunto (f + g)(D) = f(x) + g(x) : x in D . Uma cota superior para esse conjunto é um número que é maior ou igual a todos os valores de f(x) + g(x) para qualquer x em D .

Passo 4

Vamos pegar um elemento qualquer do conjunto (f + g)(D) . Seja x um elemento de D . Então, temos:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Como sup f é o menor limite superior de f , sabemos que para todo x in D :
f(x) <= sup f
De maneira similar, para a função g :
g(x) <= sup g

Passo 5

Agora, somando as duas desigualdades acima, obtemos:
f(x) + g(x) <= sup f + sup g
Isso mostra que para qualquer x in D , o valor f(x) + g(x) não excede M = sup f + sup g .

Passo 6

Como mostramos que f(x) + g(x) <= M para todo x in D , isso significa que M é, de fato, uma cota superior para o conjunto (f + g)(D) .

Resposta

Portanto, M = sup f + sup g é uma cota superior do conjunto (f + g)(D) .

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