Determine as integrais dadas por:
integral(3 e^2 x+2 cos (x)+14 x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida
integrall(3e^2x+2cos x+tfrac14xr),dx
Vamos usar a linearidade da integral e as primitivas básicas de e^ax, cos x e 1/x.

Passo 2

Separamos o primeiro termo pela constante 3:
integral 3e^2x,dx = 3integral e^2x,dx
Como integral e^ax,dx = tfrac1ae^ax, temos
3integral e^2x,dx = 3cdottfrac12e^2x = tfrac32e^2x

Passo 3

Para o segundo termo, fatoramos 2:
integral 2cos x,dx = 2integral cos x,dx
Sabemos que integral cos x,dx = sin x, logo
2integral cos x,dx = 2sin x

Passo 4

No terceiro termo, extraímos tfrac14:
integral tfrac14x,dx = tfrac14integral tfrac1x,dx
E integral tfrac1x,dx = ln|x|, então
tfrac14integral tfrac1x,dx = tfrac14ln|x|

Passo 5

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
integrall(3e^2x+2cos x+tfrac14xr),dx = tfrac32e^2x + 2sin x + tfrac14ln|x| + C

Resposta

32e^2x + 2sin x + 14ln|x| + C

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