Seja f: R R.
Enuncie duas definições:
  • f é contínua em x0 in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para enunciarmos duas definições de continuidade para uma função f: R R no ponto x0 . Isso envolve entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer dois jeitos diferentes de definir continuidade: uma usando limites e outra usando sequências. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a definição de continuidade usando limites. Essa é a definição mais clássica e envolve calcular o limite da função quando x se aproxima de x0 .
Definição 1: Definição via Limite
Uma função f é contínua em x0 se o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 for igual ao valor da função em x0 . Em termos matemáticos, isso é escrito assim:
limx to x0 f(x) = f(x0)
Explicação: Isso significa que, conforme x chega cada vez mais perto de x0 , os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de f(x0) . Não tem “pulo” ou “falha” na função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda definição, que utiliza sequências. Essa abordagem é bem interessante porque olha para o comportamento da função em relação a sequências que convergem para x0 .
Definição 2: Definição via Sequências
Uma função f é contínua em x0 se, para toda sequência xn que converge para x0 , a sequência f(xn) converge para f(x0) . Em notação matemática:
Se limn to infty xn = x0, então limn to infty f(xn) = f(x0) ã
Explicação: Aqui, a ideia é que não importa como você se aproxima de x0 (através de qualquer sequência que chegue lá), os valores de f(x) sempre vão se aproximar de f(x0) . Isso garante que a função não tem saltos ou descontinuidades nesse ponto.

Resposta

Então, as duas definições de continuidade para a função f: R R no ponto x0 são:
  1. Definição via Limite:
limx to x0 f(x) = f(x0)
  1. Definição via Sequências:
Se limn to infty xn = x0, então limn to infty f(xn) = f(x0) ã
Essas definições garantem que a função f seja contínua no ponto x0 .

Exercícios relacionados