Seja
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Enuncie duas definições:
-
é contínua em
.
Enuncie duas definições:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para enunciarmos duas definições de continuidade para uma função
no ponto
. Isso envolve entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer dois jeitos diferentes de definir continuidade: uma usando limites e outra usando sequências. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a definição de continuidade usando limites. Essa é a definição mais clássica e envolve calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Definição 1: Definição via Limite
Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
. Em termos matemáticos, isso é escrito assim:
Explicação: Isso significa que, conforme
chega cada vez mais perto de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Não tem “pulo” ou “falha” na função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda definição, que utiliza sequências. Essa abordagem é bem interessante porque olha para o comportamento da função em relação a sequências que convergem para
.
Definição 2: Definição via Sequências
Uma função
é contínua em
se, para toda sequência
que converge para
, a sequência
converge para
. Em notação matemática:
Explicação: Aqui, a ideia é que não importa como você se aproxima de
(através de qualquer sequência que chegue lá), os valores de
sempre vão se aproximar de
. Isso garante que a função não tem saltos ou descontinuidades nesse ponto.
Resposta
Então, as duas definições de continuidade para a função
no ponto
são:
- Definição via Limite:
- Definição via Sequências:
Essas definições garantem que a função
seja contínua no ponto
.