Determine as integrais das funções abaixo:
integral-1^1[sen 3 t i+11+t^2 j+k] d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida do campo vetorial
F(t)=sin(3t),i+11+t^2,j+k
no intervalo de t=-1 a t=1. Para isso, vamos usar a propriedade de linearidade da integral de campo vetorial, que permite integrar cada componente escalar separadamente.

Passo 2

Componente em i:
sin(3t) é uma função ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, logo
integral-1^1sin(3t),dt = 0

Passo 3

Componente em j:
Usamos a antiderivada de 1/(1+t^2), que é arctan(t). Então
integral-1^111+t^2,dt = l[arctan(t)r]-1^1 = arctan(1)-arctan(-1) = pi4-l(-pi4r) = pi2

Passo 4

Componente em k:
Aqui a função é constante igual a 1, então
integral-1^11,dt = l[tr]-1^1 = 1-(-1) = 2

Passo 5

Reunindo os resultados das três componentes, obtemos
integral-1^1F(t),dt = 0,i+pi2,j+2,k

Resposta

integral-1^1l[sin(3t),i+tfrac11+t^2,j+kr],dt = 0,i+pi2,j+2,k

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