Suponha
para todo
e
. Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um contraexemplo, caso seja falsa.
a)
não existe
b)
c)
é estritamente positivo
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado define uma função
tal que
para todo
e
. Precisamos analisar o comportamento de
em três afirmações: (a) existência do limite, (b) valor igual a
e (c) ser estritamente positivo. Lembre que, por definição, o limite
só vale-se de valores de
com
, ou seja,
não interfere no limite.
Passo 2
Para (a) “\r
Aqui e
, mas\r
existe. Logo a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Para (b) “
”. Novamente use
do passo anterior:
. Assim, (b) é falsa, pois o valor de
não obriga o limite a ser
.
Passo 4
Para (c) “\r
satisfaz mas\r
que não é estritamente positivo. Logo (c) também é falsa.
Resposta
a) falsa \r
b) falsa \r
c) falsa
b) falsa \r
c) falsa