Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais (cada item vale 1,5 pontos).
integral x+1(x^2-2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral integral x+1x^2 - 2x,dx. O conteúdo aqui é a integração de função racional e vamos usar a técnica de frações parciais: precisamos fatorar o denominador e decompor a fração.

Passo 2

Fatoramos o denominador como x^2 - 2x = x(x - 2). Buscamos constantes A e B tais que x+1x(x-2) = Ax + Bx-2. Multiplicando por x(x-2) obtemos
x+1 = A(x-2) + Bx
Expandindo dá x+1 = (A+B)x - 2A. Igualando coeficientes: A+B=1 e -2A=1, logo A=-tfrac12 e B=tfrac32.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral x+1x^2-2x,dx = integral l(-tfrac12x + tfrac32(x-2)r),dx
Agora integramos termo a termo, usando integral1x,dx=ln|x| e integral1x-2,dx=ln|x-2|. Assim
= -tfrac12 ln|x| + tfrac32 ln|x-2| + C

Passo 4

Esse é o resultado final da integral indefinida; se quiser, dá para combinar os logaritmos num único ln, mas não é necessário.

Resposta

-\tfrac12 \ln|x| + \tfrac32 \ln|x-2| + C

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