Determine as integrais das funções abaixo:
integral-3^3lang<=(3-t)^3 / 2,(3+t)^3 / 2, 1rang<= d t

Passo 1

O enunciado pede a integral, de t=-3 a t=3, do campo vetorial
llang<= (3-t)^3/2,,(3+t)^3/2,,1rrang<=.
O conteúdo principal é integrar cada componente separadamente: se
F(t)=llang<= f1(t),,f2(t),,f3(t)rrang<=,
então
integral-3^3F(t),dt =gllang<= integral-3^3f1(t),dt,;integral-3^3f2(t),dt,;integral-3^3f3(t),dtgrrang<=

Passo 2

Definimos
I1=integral-3^3(3-t)^3/2,dt, I2=integral-3^3(3+t)^3/2,dt, I3=integral-3^31,dt,
de modo que a integral vetorial é lang<= I1,I2,I3rang<=.

Passo 3

Cálculo de I1 por substituição u=3-t, logo du=-dt.
Quando t=-3, u=6; quando t=3, u=0. Assim,
I1 =integral-3^3(3-t)^3/2,dt =integral6^0u^3/2(-du) =integral0^6u^3/2,du =gl[u^5/25/2gr]0^6 =25,6^5/2 =72raiz65

Passo 4

Cálculo de I2 por substituição v=3+t, então dv=dt.
Quando t=-3, v=0; quando t=3, v=6. Logo,
I2 =integral-3^3(3+t)^3/2,dt =integral0^6v^3/2,dv =gl[v^5/25/2gr]0^6 =25,6^5/2 =72raiz65

Passo 5

Cálculo de I3, que é imediato:
I3=integral-3^31,dt =l[tr]-3^3 =3-(-3) =6

Passo 6

Reunindo as três componentes, a integral vetorial é
integral-3^3llang<= (3-t)^3/2,(3+t)^3/2,1rrang<= dt =llang<= I1,I2,I3rrang<= =llang<= tfrac72raiz65,,tfrac72raiz65,,6rrang<=

Resposta

boxedllang<= tfrac72raiz65,,tfrac72raiz65,,6rrang<=

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