Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
(b) integral0^+infty 1x^2+3 x+2 d x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a integral imprópria
integral0^+infty 1x^2+3x+2 , dx
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função integranda x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) . Isso nos ajuda a simplificar a expressão e aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 3

Agora, vamos decompor a função em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(x + 1)(x + 2) = Ax + 1 + Bx + 2 e 1 = A(x + 2) + B(x + 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(-1 + 2) + B(0) Rightarrow 1 = A(1) Rightarrow A = 1 e 1 = A(0) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = B(-1) Rightarrow B = -1 , escolhemos valores específicos de 1(x + 1)(x + 2) = 1x + 1 - 1x + 2 que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Se :
Portanto, a decomposição em frações parciais é:

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral original usando as frações parciais:
integral0^+infty ( 1x + 1 - 1x + 2 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x + 1 , dx - integral 1x + 2 , dx = ln|x + 1| - ln|x + 2| + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a limt to +infty [ ln(t + 1) - ln(t + 2) - (ln(1) - ln(2)) ] e depois tomando o limite quando limt to +infty ln(t + 1t + 2) + ln(2) tende ao infinito:
0 + ln(2) = ln(2)
Simplificando:
Quando tende ao infinito, tende a 1, então . Portanto:

Resposta

A integral imprópria
integral0^+infty 1x^2+3x+2 , dx
converge e seu valor é .

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