Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função integranda
. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e aplicar a técnica de frações parciais.
Passo 3
Agora, vamos decompor a função em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores específicos de
que simplifiquem a equação:
- Se
:
- Se
:
Portanto, a decomposição em frações parciais é:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral original usando as frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a
e depois tomando o limite quando
tende ao infinito:
Simplificando:
Quando
tende ao infinito,
tende a 1, então
. Portanto:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.