Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
a_n = arctan(n)/n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme cresce) ou diverge (se não tem um limite definido). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas propriedades da função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando fica bem grande, ou seja, tende ao infinito. Para isso, vamos calcular o limite de conforme cresce:

Passo 3

Sabemos que a função arco-tangente ( ) tem uma propriedade importante: conforme cresce, ela se aproxima cada vez mais de . Isso porque tem uma assíntota horizontal em . Então, podemos dizer que:

Passo 4

Agora, substituímos esse limite na expressão original:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é um número finito ( ) e o denominador cresce sem limites (infinito).

Passo 5

Quando você divide um número finito por um valor que tende ao infinito, o resultado dessa divisão tende a zero. Ou seja:

Resposta

A sequência converge para 0.

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