Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se a série
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos usar testes de convergência para descobrir o que acontece com essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão
pode ser reescrita assim:
Passo 3
Agora que simplificamos, a série fica:
Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é a constante inicial e
é a razão comum.
Passo 4
Para séries geométricas, a regra é simples:
- Converge se
- Diverge se
No nosso caso, a razão
é
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Como
, a condição para convergência das séries geométricas é satisfeita.
Resposta
A série
converge.