Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
(b) sumn=1^+infty e^n3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos usar testes de convergência para descobrir o que acontece com essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão e^n3^n-1 = e^n3^n cdot 3^-1 = e^n cdot 3 cdot (13)^n = 3 (e3)^n pode ser reescrita assim:

Passo 3

Agora que simplificamos, a série fica:
sumn=1^+infty 3 (e3)^n
Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma , onde é a constante inicial e é a razão comum.

Passo 4

Para séries geométricas, a regra é simples:
  • Converge se
  • Diverge se
No nosso caso, a razão é .

Passo 5

Vamos calcular e3 approx 2.7183 approx 0.906 :
Sabemos que , então:
Como , a condição para convergência das séries geométricas é satisfeita.

Resposta

A série converge.

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