Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
(c) sumn=1^+infty ln (1+1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas, especificamente os testes de convergência. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como funciona o comportamento das séries quando n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: ln(1 + x) approx x - x^22 + x^33 - dots . Sabemos que, para valores grandes de n, ln(1 + 1n) approx 1n - 12n^2 + dots é bem pequeno. Uma boa aproximação para o logaritmo de quando x é pequeno é:
Aplicando isso no nosso caso, onde :
Mas para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo: .

Passo 3

Agora, comparando nossa série com a Série Harmônica, que é . A Série Harmônica é famosa por diverger, ou seja, não tem uma soma finita.
Como vimos, o termo geral da nossa série é aproximadamente igual ao termo da Série Harmônica para n grande. Isso nos sugere que nossa série também pode divergir.

Passo 4

Para confirmar, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se an = ln(1 + 1n) >= 12n para todo n >= 1 para todo n grande e diverge, então também diverge.
No nosso caso:
Sabemos que também diverge, pois é uma constante multiplicando a Série Harmônica.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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