Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas, especificamente os testes de convergência. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como funciona o comportamento das séries quando n cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que, para valores grandes de n,
é bem pequeno. Uma boa aproximação para o logaritmo de
quando x é pequeno é:
Aplicando isso no nosso caso, onde
:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo:
.
Passo 3
Agora, comparando nossa série com a Série Harmônica, que é
. A Série Harmônica é famosa por diverger, ou seja, não tem uma soma finita.
Como vimos, o termo geral da nossa série é aproximadamente igual ao termo da Série Harmônica para n grande. Isso nos sugere que nossa série também pode divergir.
Passo 4
Para confirmar, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se
para todo n grande e
diverge, então
também diverge.
No nosso caso:
Sabemos que
também diverge, pois é uma constante multiplicando a Série Harmônica.
Resposta
Portanto, a série
diverge.