Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
(h) sumn=1^+infty(1+1n)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Critério da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . Sabemos que tende a quando cresce sem limites.

Passo 3

Então, podemos reescrever an = (1+1n)^n^2 = [(1+1n)^n]^n da seguinte forma:
an approx e^n
E já que para grande, temos:
Isso mostra que cresce exponencialmente conforme aumenta.

Passo 4

Agora, aplicamos o Critério da Divergência, que diz que se o limite do termo geral limn to +infty an = limn to +infty e^n = +infty neq 0 não for zero, a série diverge. Vamos calcular o limite:
Como o limite não é zero, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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