Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
(f) sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
sin(npi + pi2)
Sabemos que sin(npi + pi2) = sin(npi)cos(pi2) + cos(npi)sin(pi2) . Aplicando isso:
sin(npi + pi2) = cos(npi) cdot 1 = (-1)^n
Como sin(npi + pi2)1+raizn = (-1)^n1+raizn e , resta:
Então, o termo geral da série fica:

Passo 3

Agora, a série se tornou:
sumn=0^+infty (-1)^n1+raizn
Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao .

Passo 4

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. para todo ,
  2. é decrescente,
  3. .
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos verificar as condições:
  1. para todo .
  2. aumenta conforme aumenta, então diminui.
  3. .
Como todas as condições são atendidas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 6

Além disso, podemos verificar a convergência absoluta. Analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=0^+infty 11+raizn
Essa é comparável a uma série com , já que para grandes . Sabemos que séries com divergem. Portanto, a série original não converge absolutamente, mas apenas converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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