Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Sabemos que
. Aplicando isso:
Como
e
, resta:
Então, o termo geral da série fica:
Passo 3
Agora, a série se tornou:
Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao
.
Passo 4
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se:
-
para todo , -
é decrescente, -
.
No nosso caso,
.
Passo 5
Vamos verificar as condições:
-
para todo . -
aumenta conforme aumenta, então diminui. -
.
Como todas as condições são atendidas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.
Passo 6
Além disso, podemos verificar a convergência absoluta. Analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é comparável a uma série
com
, já que
para grandes
. Sabemos que séries
com
divergem. Portanto, a série original não converge absolutamente, mas apenas converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.