Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral imprópria
e pergunta se ela converge e, em caso afirmativo, para que valor. Trata-se de uma integral imprópria porque o integrando fica singular em
(denominador zero). Para resolver, vamos reescrever como um limite e usar uma primitiva conhecida de
.
Passo 2
Escrevemos
como limite na borda singular em
:
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de
. Sabe-se (ou deriva-se por substituição
) que
Passo 4
Usando essa primitiva no intervalo
e depois tomando o limite
, temos
Como
e, quando
,
implica
e
, obtemos
Passo 5
Concluímos que a integral é convergente e seu valor é
.
Resposta
A integral é convergente e converge para
.