Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
I=\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx
e pergunta se ela converge e, em caso afirmativo, para que valor. Trata-se de uma integral imprópria porque o integrando fica singular em x=1 (denominador zero). Para resolver, vamos reescrever como um limite e usar uma primitiva conhecida de \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 2

Escrevemos I como limite na borda singular em x=1:
I =\lim_{a\to1^{+}}\int_{a}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}. Sabe-se (ou deriva-se por substituição x=\operatorname{cosh} t) que
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx =\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)+C.

Passo 4

Usando essa primitiva no intervalo [a,2] e depois tomando o limite a\to1^+, temos
\int_{a}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx =\Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\Bigr]_{x=a}^{x=2} =\ln\bigl(2+\sqrt{4-1}\bigr)-\ln\bigl(a+\sqrt{a^{2}-1}\bigr).
Como \sqrt{4-1}=\sqrt{3} e, quando a\to1^+, \sqrt{a^{2}-1}\to0 implica a+\sqrt{a^{2}-1}\to1 e \ln(1)=0, obtemos
I =\lim_{a\to1^+}\bigl[\ln(2+\sqrt{3})-\ln\bigl(a+\sqrt{a^{2}-1}\bigr)\bigr] =\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

Concluímos que a integral é convergente e seu valor é \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Resposta

A integral é convergente e converge para \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

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