Exercício 4: Determine f\left(\frac{\pi}{2}\right), sendo f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que
\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{3} \operatorname{sen}(2 x)
para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que, para todo x,
\int_{0}^{x}f(t)\,dt = x^{3}\operatorname{sen}(2x).
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo associado à regra do produto para derivadas.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)\,dt = f(x).
Pelo lado direito, usamos a regra do produto e a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\operatorname{sen}(2x)\bigr) = 3x^{2}\operatorname{sen}(2x) + x^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr) = 3x^{2}\operatorname{sen}(2x) + x^{3}\cdot2\cos(2x).

Passo 3

Logo, para todo x,
f(x) = 3x^{2}\operatorname{sen}(2x) + 2x^{3}\cos(2x).

Passo 4

Para x = \tfrac{\pi}{2},
\operatorname{sen}\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0, \quad \cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(\pi)=-1.
Assim,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = 3\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}\cdot0 + 2\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{3}\cdot(-1) = -2\cdot\frac{\pi^{3}}{8} = -\frac{\pi^{3}}{4}.

Resposta

f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\frac{\pi^{3}}{4}.

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