Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \,dx
Este é um caso de integral em intervalo infinito, ou seja, de natureza imprópria por ter o limite superior infinito. Vamos usar primitiva e estudar o limite quando x\to+\infty.

Passo 2

Verificamos que o integrando \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} é contínuo em todo o intervalo [2,\infty), pois para x\ge2 temos x^2-1>0. Logo a única fonte de impropriedade vem do limite superior no infinito:
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx =\lim_{b\to+\infty}\int_{2}^{b}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx.

Passo 3

Calcular uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcosh}(x)\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.
Portanto, uma antiderivada é
F(x)=\operatorname{arcosh}(x) =\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr).

Passo 4

Aplicando os limites na primitiva:
\int_{2}^{b}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx =F(b)-F(2) =\ln\bigl(b+\sqrt{b^2-1}\bigr)\;-\;\ln\bigl(2+\sqrt{2^2-1}\bigr).
Agora analisamos o comportamento de \ln\bigl(b+\sqrt{b^2-1}\bigr) quando b\to+\infty. Para b grande,
b+\sqrt{b^2-1}\sim b+b\Bigl(1-\tfrac1{2b^2}\Bigr)=2b-\tfrac1{2b}\quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(b+\sqrt{b^2-1}\bigr)\sim\ln(2b)\to+\infty.
Logo o limite
\lim_{b\to+\infty}\bigl[F(b)-F(2)\bigr] =+\infty-\text{constante} =+\infty,
portanto diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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