Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
Este é um caso de integral em intervalo infinito, ou seja, de natureza imprópria por ter o limite superior infinito. Vamos usar primitiva e estudar o limite quando
.
Passo 2
Verificamos que o integrando
é contínuo em todo o intervalo
, pois para
temos
. Logo a única fonte de impropriedade vem do limite superior no infinito:
Passo 3
Calcular uma primitiva de
. Sabemos que
Portanto, uma antiderivada é
Passo 4
Aplicando os limites na primitiva:
Agora analisamos o comportamento de
quando
. Para
grande,
Logo o limite
portanto diverge.
Resposta
A integral é divergente.