Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx
que apresenta singularidade em x=0. O conteúdo aqui é integrais impróprias e vamos usar a definição via limite e a antiderivada de x^{\alpha}.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em x=0, reescrevemos
I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx.
Sabemos que uma integral do tipo \int_{0}^{1} x^{-p}dx converge se p<1. Aqui p=\tfrac{1}{3}<1, então esperamos convergência.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-\tfrac{1}{3}}. Como para \alpha\neq -1 vale
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1},
tomamos \alpha=-\tfrac{1}{3}, então \alpha+1=\tfrac{2}{3} e
\int x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo entre \varepsilon e 1, obtemos
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx = \frac{3}{2}\bigl(1^{2/3} - \varepsilon^{2/3}\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(1 - \varepsilon^{2/3}\bigr).

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando \varepsilon\to0^+:
\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{3}{2}\bigl(1 - \varepsilon^{2/3}\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(1 - 0\bigr) = \frac{3}{2}.
Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e
I = \frac{3}{2}.

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