Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
que apresenta singularidade em
. O conteúdo aqui é integrais impróprias e vamos usar a definição via limite e a antiderivada de
.
Passo 2
Para lidar com a singularidade em
, reescrevemos
Sabemos que uma integral do tipo
converge se
. Aqui
, então esperamos convergência.
Passo 3
Calculamos a antiderivada de
. Como para
vale
tomamos
, então
e
Passo 4
Aplicando o teorema fundamental do cálculo entre
e
, obtemos
Passo 5
Agora basta tomar o limite quando
:
Como o resultado é finito, a integral converge.
Resposta
A integral é convergente e