Exercício 5: Mostre que a função
é crescente.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é crescente. O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia para derivar uma integral com limite superior dependente de
.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia, se
então
Passo 3
Calculemos a derivada do argumento:
Como
para todo
, segue que
Passo 4
Observe o integrando:
Temos
, logo
e
Passo 5
Como tanto
quanto
, o produto
é estritamente positivo para todo
. Portanto,
em
, o que implica que
é estritamente crescente.
Resposta
A função
é crescente (na verdade estritamente crescente) em todo
.