Exercício 5: Mostre que a função
G(x)=\int_{1}^{x^{3}+x} \frac{1}{1+\cos ^{4} t} d t \quad(x \in \mathbb{R})
é crescente.

Passo 1

O enunciado define
G(x)=\int_{1}^{\,x^{3}+x}\frac{1}{1+\cos^{4}t}\,dt\,,\quad x\in\mathbb{R},
e pede para mostrar que G é crescente. O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia para derivar uma integral com limite superior dependente de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia, se
u(x)=x^{3}+x \quad\text{e}\quad f(t)=\frac{1}{1+\cos^{4}t},
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =\frac{1}{1+\cos^{4}\bigl(x^{3}+x\bigr)}\;\bigl(3x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Calculemos a derivada do argumento:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x\bigr)=3x^{2}+1.
Como x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que
3x^{2}+1\ge1>0.

Passo 4

Observe o integrando:
f\bigl(u(x)\bigr)=\frac{1}{1+\cos^{4}\bigl(x^{3}+x\bigr)}.
Temos \cos^{4}(\cdot)\ge0, logo 1+\cos^{4}(\cdot)\ge1 e
f\bigl(u(x)\bigr)>0 \quad\text{para todo }x.

Passo 5

Como tanto u'(x)>0 quanto f\bigl(u(x)\bigr)>0, o produto
G'(x)=\frac{3x^{2}+1}{1+\cos^{4}(x^{3}+x)}
é estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, G'(x)>0 em \mathbb{R}, o que implica que G é estritamente crescente.

Resposta

A função G é crescente (na verdade estritamente crescente) em todo \mathbb{R}.

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