Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular o valor. Trata-se de uma integral imprópria no limite inferior
, pois
diverge ali. Vamos primeiro testar a convergência e depois, se confirmar, calcular o valor usando integração por partes.
Passo 2
Definimos
e examinamos o comportamento de
quando
. Sabemos que para
vale
aqui com
. Assim
tende a zero rápido o suficiente para que a integral seja convergente no limite inferior.
Passo 3
Para calcular
, aplicamos integração por partes com
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Passo 4
Avaliamo o limite
Em
temos
e em
tanto
quanto
tendem a zero quando
. Portanto
Resposta
A integral é convergente e seu valor é