Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{0}^{2} x^{2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
I = \int_{0}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular o valor. Trata-se de uma integral imprópria no limite inferior x\to0^+, pois \ln(x) diverge ali. Vamos primeiro testar a convergência e depois, se confirmar, calcular o valor usando integração por partes.

Passo 2

Definimos
I(a) = \int_{a}^{2} x^{2}\ln(x)\,dx
e examinamos o comportamento de x^{2}\ln(x) quando x\to0^+. Sabemos que para \alpha>-1 vale
\int_{0}^{\varepsilon} x^{\alpha}\ln(x)\,dx \quad\text{converge},
aqui com \alpha=2. Assim x^{2}\ln(x) tende a zero rápido o suficiente para que a integral seja convergente no limite inferior.

Passo 3

Para calcular I(a), aplicamos integração por partes com
u = \ln(x),\quad dv = x^{2}\,dx
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \frac{x^{3}}{3}.
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\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) \;-\; \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 4

Avaliamo o limite
I = \lim_{a\to0^+}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9}\Bigr]_{x=a}^{x=2}.
Em x=2 temos
\frac{8}{3}\ln(2) - \frac{8}{9},
e em x=a tanto \tfrac{a^{3}}{3}\ln(a) quanto \tfrac{a^{3}}{9} tendem a zero quando a\to0^+. Portanto
I = \frac{8}{3}\ln(2) - \frac{8}{9}.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é
\frac{8}{3}\ln(2) - \frac{8}{9}.

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