Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge: I=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx
e, se convergir, determinar o valor para o qual ela converge. O conteúdo é integrais impróprias em intervalo infinito e teste de comparação, seguido de cálculo de primitiva.
Passo 2
Para verificar convergência, note que para todo x\ge1 vale \bigl|\cos(1/x)\bigr|\le1. Logo