Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx
e, se convergir, determinar o valor para o qual ela converge. O conteúdo é integrais impróprias em intervalo infinito e teste de comparação, seguido de cálculo de primitiva.

Passo 2

Para verificar convergência, note que para todo x\ge1 vale \bigl|\cos(1/x)\bigr|\le1. Logo
\Bigl|\tfrac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr|\le \tfrac{1}{x^{2}}.
Como a integral
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx
é convergente (é uma p-série com p=2>1), a integral dada converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Para calcular o valor, achamos uma primitiva de \tfrac{1}{x^{2}}\cos(1/x). Observando que
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^{2}},
fazemos a substituição u=1/x, du=-\,\tfrac{1}{x^{2}}dx. Assim,
\int \frac{1}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,dx = -\int \cos(u)\,du = -\sin(u)+C = -\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)+C.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 1 a +\infty:
I = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-\sin(1/b)+\sin(1)\bigr) = 0 + \sin(1) = \sin(1).

Resposta

A integral converge e seu valor é \sin(1).

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