Questão 2. O \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-3 x^{12}-7 x^{4}-12 x}{5 x^{11}+5 x^{7}+15} é:
(a) \infty
(b) 3
(c) -\frac{3}{5}
(d) \frac{3}{5}
(e) -\infty
(f) \frac{12}{11}
(g) 0

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{-3x^{12}-7x^4-12x}{5x^{11}+5x^7+15}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito, então vamos comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador.

Passo 2

Identificamos que o numerador tem grau
\deg N=12
e o denominador tem grau
\deg D=11.
Como \deg N>\deg D, a magnitude da fração cresce sem limite; resta determinar o sinal (positivo ou negativo).

Passo 3

Para ver o comportamento assintótico, fatoramos x^{11} em cima e embaixo:
\frac{-3x^{12}-7x^4-12x}{5x^{11}+5x^7+15} =\frac{x^{11}\bigl(-3x-7x^{-7}-12x^{-10}\bigr)}{x^{11}\bigl(5+5x^{-4}+15x^{-11}\bigr)} =\frac{-3x-7x^{-7}-12x^{-10}}{5+5x^{-4}+15x^{-11}}.

Passo 4

Quando x\to -\infty, todos os termos com potências negativas de x vão a zero. Sobram apenas os termos de maior ordem:
\frac{-3x-7x^{-7}-12x^{-10}}{5+5x^{-4}+15x^{-11}} \sim\frac{-3x}{5} =-\frac{3}{5}\,x.

Passo 5

Finalmente, como x\to -\infty, o produto
-\tfrac{3}{5}\,x
tende a
+\infty.
Logo o limite é infinito e positivo.

Resposta

(a) \infty

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