Determine as integrais indefinidas:
\int\left(2 x^{3}-1\right)\left(x^{2}+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (2x^{3}-1)(x^{2}+5)\,dx.
Aqui usaremos o conteúdo de integrais de polinômios, aplicando a linearidade da integral e a regra da potência. A estratégia é primeiro expandir o produto e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Expandimos o integrando:
(2x^{3}-1)(x^{2}+5) =2x^{3}\cdot x^{2}+2x^{3}\cdot 5 -1\cdot x^{2}-1\cdot 5 =2x^{5}+10x^{3}-x^{2}-5.

Passo 3

Agora integramos cada termo usando \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1):
\int 2x^{5}dx =2\cdot \frac{x^{6}}{6} =\frac{x^{6}}{3},
\int 10x^{3}dx =10\cdot \frac{x^{4}}{4} =\frac{5x^{4}}{2},
\int(-x^{2})dx =-\frac{x^{3}}{3}, \quad \int(-5)dx =-5x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante C, obtemos
\int(2x^{3}-1)(x^{2}+5)\,dx =\frac{x^{6}}{3}+\frac{5x^{4}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-5x + C.

Resposta

\frac{x^{6}}{3}+\frac{5x^{4}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-5x + C

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