Resolva as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=x\left(x^{2}-3\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{4}.
O conteúdo aqui é a integração direta de uma EDO de primeira ordem do tipo \tfrac{dy}{dx}=f(x). Vamos precisar usar separação de variáveis (aqui trivial) e uma substituição para integrar.

Passo 2

Como \tfrac{dy}{dx}=f(x), basta escrever
dy = x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{4}dx
e integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Montamos a integral
y = \int x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{4}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x^{2}-3 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 5

Substituindo na integral, temos
\int x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{4}dx = \int u^{4}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{4}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5} = \frac{u^{5}}{10}.
Voltando a x, isso é \frac{(x^{2}-3)^{5}}{10}.

Resposta

y = \frac{(x^{2}-3)^{5}}{10} + C.

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