Resolva as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{7 x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \sqrt{7\,x^{3}}
e pede achar y(x). O conteúdo aqui é resolver uma EDO por integração direta, usando propriedades de potências.

Passo 2

Reescrevemos a raiz como potência:
\sqrt{7\,x^{3}} = \sqrt{7}\,\bigl(x^{3}\bigr)^{1/2} = \sqrt{7}\,x^{3/2}.
Assim a EDO fica
\frac{dy}{dx} = \sqrt{7}\,x^{3/2}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{dy}{dx}\,dx = \int \sqrt{7}\,x^{3/2}\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo a integral de \frac{dy}{dx}\,dx é y. No lado direito,
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.
Multiplicando por \sqrt{7} temos
y = \sqrt{7}\,\frac{2}{5}\,x^{5/2} + C = \frac{2\sqrt{7}}{5}\,x^{5/2} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \frac{2\sqrt{7}}{5}\,x^{5/2} + C.

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