O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}-1}.
Informações dadas: o integrando é \dfrac{1}{x^{3}-1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma expressão fechada mais constante de integração C) para essa função.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador x^{3}-1. Usamos a fatoração conhecida de diferença de cubos:
onde A,B,C\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((x-1)(x^{2}+x+1)\) obtemos a identidade polinomial
\[1=A(x^{2}+x+1)+(Bx+C)(x-1).
Vou expandir e agrupar termos: expandindo (Bx+C)(x-1) dá Bx^{2} - Bx + Cx - C. Somando com A(x^{2}+x+1) obtemos
1=(A+B)x^{2} + (A - B + C)x + (A - C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (que equivale a 0\cdot x^{2}+0\cdot x +1) obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A - B + C=0,\\[4pt] A - C=1. \end{cases}
Resolvo o sistema: da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \(A - (-A) + C=0 ⇒ 2A + C=0 ⇒ C=-2A. Na terceira: A - C = A - (-2A)=3A=1 ⇒ A=\dfrac{1}{3}. Logo
Agora trato a segunda integral \displaystyle \int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx. Uma técnica útil é escrever o numerador como combinação do derivado do denominador mais uma constante. O denominador é D(x)=x^{2}+x+1 e D'(x)=2x+1. Escrevo
x+2=\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{3}{2},
pois \frac{1}{2}(2x+1)=x+\tfrac{1}{2} e completando chega-se a x+2. Então
pois \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e \dfrac{1}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{6}\ln(x^{2}+x+1)=\dfrac{1}{6}\ln\!\left|\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}\right|.