Determine as integrais:
\int \frac{d x}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}-1}.
Informações dadas: o integrando é \dfrac{1}{x^{3}-1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma expressão fechada mais constante de integração C) para essa função.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador x^{3}-1. Usamos a fatoração conhecida de diferença de cubos:
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
Portanto
\frac{1}{x^{3}-1}=\frac{1}{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}.

Passo 3

Para integrar uma razão racional com denominador fatorado, uso frações parciais. Proponho a decomposição
\frac{1}{x^{3}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+x+1},
onde A,B,C\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((x-1)(x^{2}+x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[1=A(x^{2}+x+1)+(Bx+C)(x-1).
Vou expandir e agrupar termos: expandindo (Bx+C)(x-1) Bx^{2} - Bx + Cx - C. Somando com A(x^{2}+x+1) obtemos
1=(A+B)x^{2} + (A - B + C)x + (A - C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (que equivale a 0\cdot x^{2}+0\cdot x +1) obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A - B + C=0,\\[4pt] A - C=1. \end{cases}
Resolvo o sistema: da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \(A - (-A) + C=0 2A + C=0 C=-2A. Na terceira: A - C = A - (-2A)=3A=1 A=\dfrac{1}{3}. Logo
A=\frac{1}{3},\qquad B=-\frac{1}{3},\qquad C=-\frac{2}{3}.]

Passo 4

Substituindo esses valores na decomposição, tenho
\frac{1}{x^{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x+2}{x^{2}+x+1}.
Assim a integral separa em duas integrais mais simples:
\int \frac{dx}{x^{3}-1}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx.

Passo 5

Integro a primeira parte imediatamente:
\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}=\frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr|.
Agora trato a segunda integral \displaystyle \int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx. Uma técnica útil é escrever o numerador como combinação do derivado do denominador mais uma constante. O denominador é D(x)=x^{2}+x+1 e D'(x)=2x+1. Escrevo
x+2=\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{3}{2},
pois \frac{1}{2}(2x+1)=x+\tfrac{1}{2} e completando chega-se a x+2. Então
\frac{x+2}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+x+1}.
Integro cada termo separadamente:
  • Para o primeiro termo, \displaystyle \int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx=\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr), porque é da forma \int D'(x)/D(x)\,dx=\ln|D(x)|.
  • Para o segundo termo, preciso calcular \displaystyle \int\frac{dx}{x^{2}+x+1}. Faço completar o quadrado no denominador:
x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}.
Faço a substituição u=x+\tfrac{1}{2}. Então du=dx e a integral vira
\int\frac{dx}{\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{2}} =\int\frac{du}{u^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{2}}.
A fórmula padrão é \displaystyle \int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right). Aqui a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então
\int\frac{dx}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\arctan\!\left(\frac{x+\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right) =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).
Juntando os dois termos da decomposição do numerador:
\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).
Simplificando \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, resulta
\int\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Retorno à integral original com o fator -\dfrac{1}{3}:
\int \frac{dx}{x^{3}-1}=\frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr|-\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\right]+C.
Distribuindo o -\dfrac{1}{3} e simplificando coeficientes:
\int \frac{dx}{x^{3}-1}=\frac{1}{3}\ln\bigl|x-1\bigr|-\frac{1}{6}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)-\frac{\sqrt{3}}{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C.
Uma forma alternativa, reunindo os logaritmos, é
\int \frac{dx}{x^{3}-1}=\frac{1}{6}\ln\!\left|\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}\right|-\frac{1}{\sqrt{3}}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C,
pois \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e \dfrac{1}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{6}\ln(x^{2}+x+1)=\dfrac{1}{6}\ln\!\left|\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}\right|.

Resposta

\frac{1}{6}\ln\!\left|\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}\right|-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C

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