Determine as integrais:
\int \frac{2 x{2}+x+7}{\left(x{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}+x+7}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador: }2x^{2}+x+7,\qquad \text{denominador: }\left(x^{2}+4\right)^{2}.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 2

Vamos decompor a função racional em parcelas mais simples. Como o denominador é (x^{2}+4)^{2} (um quadrado de um polinômio quadrático), a decomposição das frações parciais tem a forma
\frac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+4}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes desconhecidas. Esta escolha é padrão: para cada fator quadrático repetido usamos numerador linear. Agora vamos determinar A,B,C,D comparando os dois lados.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+4)^{2}\) para eliminar denominadores: \[2x^{2}+x+7=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expandindo (Ax+B)(x^{2}+4) obtemos
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax^{3}+Bx^{2}+4Ax+4B.
Somando Cx+D
Ax^{3}+Bx^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Comparando coeficientes com 2x^{2}+x+7 (que é 0\cdot x^{3}+2x^{2}+1\cdot x+7) obtemos o sistema:
\begin{cases} A = 0 &\text{(coeficiente de }x^{3})\\[4pt] B = 2 &\text{(coeficiente de }x^{2})\\[4pt] 4A + C = 1 &\text{(coeficiente de }x)\\[4pt] 4B + D = 7 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Substituindo A=0\] e \(B=2 nas outras equações:
C = 1,\qquad 8 + D = 7 \Rightarrow D=-1.
Portanto A=0,\;B=2,\;C=1,\;D=-1.]

Passo 4

Com esses valores a decomposição fica
\frac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{2}{x^{2}+4}+\frac{x-1}{(x^{2}+4)^{2}}.
Então
\int \frac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx+\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx-\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Integral 1:
Usamos a fórmula conhecida
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0. Aqui a^{2}=4 então a=2. Assim
\int \frac{2}{x^{2}+4}\,dx =2\cdot\int \frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,dx =2\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) =\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
(Dica rápida: a derivada de \arctan(x/2) é \dfrac{1/2}{1+(x/2)^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}+4}, daí o resultado.)

Passo 6

Integral 2:
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Use a substituição u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. A integral vira
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)+C=-\frac{1}{2(x^{2}+4)}+C.

Passo 7

Integral 3:
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Vamos calcular esta integral por substituição trigonométrica. Tome x=2\tan\theta. Então dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
x^{2}+4=4\tan^{2}\theta+4=4\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo
\frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac{1}{(4\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{16\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Agora integramos \cos^{2}\theta usando \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\int \frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{16}\Big(\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Big)+C.
Voltando para x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). E \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Com \tan\theta=\dfrac{x}{2} temos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} e \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}. Assim
\sin(2\theta)=\frac{2x\cdot 2}{x^{2}+4}=\frac{4x}{x^{2}+4}.
Substituindo:
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4x}{x^{2}+4}+C =\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{8(x^{2}+4)}+C.
Observação: esta é a fórmula padrão
\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx=\frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
aplicada com a=2.

Passo 8

Agora juntamos todas as parcelas calculadas:
\int \frac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\underbrace{\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)}_{\text{Integral 1}} +\underbrace{\left(-\frac{1}{2(x^{2}+4)}\right)}_{\text{Integral 2}} -\underbrace{\left(\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{8(x^{2}+4)}\right)}_{\text{Integral 3}}+C.
Agrupando termos semelhantes: os termos com \arctan dão
\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{15}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Os termos racionais com (x^{2}+4) no denominador são
-\frac{1}{2(x^{2}+4)}-\frac{x}{8(x^{2}+4)}=\frac{-4 - x}{8(x^{2}+4)}=-\frac{x+4}{8(x^{2}+4)}.
Somando tudo:
\int \frac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx =\frac{15}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x+4}{8(x^{2}+4)}+C.

Resposta

\frac{15}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x+4}{8(x^{2}+4)}+C

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