A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x^{2}+x+7}{(x^{2}+4)^{2}}.
Passo 2
Vamos decompor a função racional em parcelas mais simples. Como o denominador é (x^{2}+4)^{2} (um quadrado de um polinômio quadrático), a decomposição das frações parciais tem a forma
onde A,B,C,D são constantes desconhecidas. Esta escolha é padrão: para cada fator quadrático repetido usamos numerador linear. Agora vamos determinar A,B,C,D comparando os dois lados.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+4)^{2}\) para eliminar denominadores:
\[2x^{2}+x+7=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expandindo (Ax+B)(x^{2}+4) obtemos
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax^{3}+Bx^{2}+4Ax+4B.
Somando Cx+D dá
Ax^{3}+Bx^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Comparando coeficientes com 2x^{2}+x+7 (que é 0\cdot x^{3}+2x^{2}+1\cdot x+7) obtemos o sistema:
\begin{cases} A = 0 &\text{(coeficiente de }x^{3})\\[4pt] B = 2 &\text{(coeficiente de }x^{2})\\[4pt] 4A + C = 1 &\text{(coeficiente de }x)\\[4pt] 4B + D = 7 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Voltando para x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). E \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Com \tan\theta=\dfrac{x}{2} temos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} e \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}. Assim