Sobre funções trigonométricas, analise as seguintes afirmações:
I) A função
é ímpar, isto é,
. Por outro lado, a função
é uma função par, satisfazendo a condição
.
II) No sentido anti-horário, a função
é crescente nos quadrantes impares e decrescente nos quadrantes pares.
III) Se
. Se
, então
e
.
IV) Assuma que
e que
. Então
.
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
I) A função
II) No sentido anti-horário, a função
III) Se
IV) Assuma que
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
Passo 1
O enunciado nos dá quatro afirmações sobre funções trigonométricas envolvendo paridade, monotonicidade e identidades de ângulo. Vamos verificar cada uma delas usando as definições:
– Uma função é ímpar se satisfaz
e é par se satisfaz
.
– A derivada de é
sempre que definida, o que indica monotonicidade crescente nos ramos de continuidade.
– As identidades de ângulo incluem e
.
– No terceiro quadrante ( ),
e
são ambos negativos, e
.
– Uma função
– A derivada de
– As identidades de ângulo incluem
– No terceiro quadrante (
Passo 2
Analisando a afirmação I:
– Dizem que é ímpar “isto é,
”. Na verdade, ímpar significa
, logo a igualdade escrita está invertida.
– Dizem que é par “satisfazendo
”. Mas par significa
, então também está invertido.
Portanto, a afirmação I é falsa.
– Dizem que
– Dizem que
Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
– Como em todos os intervalos onde
está definida, a função é crescente em cada ramo (todos os quadrantes ímpares e pares, entre assíntotas). A afirmação de que seria decrescente nos quadrantes pares está incorreta.
Logo, a afirmação II é falsa.
– Como
Logo, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III:
– Se e
, então
e
.
Portanto, afirmar e
é falso.
– Se
e
Portanto, afirmar
Passo 5
Analisando a afirmação IV:
– Em , temos
e
– Em
pois no terceiro quadrante
. A afirmação dá o valor positivo, então também está errada.
Passo 6
Concluímos que todas as quatro afirmativas (I, II, III e IV) são falsas.
Resposta
(e)