Sobre funções trigonométricas, analise as seguintes afirmações:
I) A função f(x)=\operatorname{sen} x é ímpar, isto é, f(x)=f(-x). Por outro lado, a função g(x)=\cos x é uma função par, satisfazendo a condição g(x)=-g(-x).
II) No sentido anti-horário, a função f(x)=\operatorname{tg} x é crescente nos quadrantes impares e decrescente nos quadrantes pares.
III) Se 0<x<\frac{\pi}{2}. Se x+\frac{\pi}{2}=y, então \operatorname{sen} x=\operatorname{sen} y e \cos x=\cos y.
IV) Assuma que \pi<x<\frac{3 \pi}{2} e que \cos x=-\frac{1}{3}. Então \operatorname{sen} x=\frac{2 \sqrt{2}}{3}.
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado nos dá quatro afirmações sobre funções trigonométricas envolvendo paridade, monotonicidade e identidades de ângulo. Vamos verificar cada uma delas usando as definições:
– Uma função h é ímpar se satisfaz \,h(-x)=-h(x) e é par se satisfaz \,h(-x)=h(x).
– A derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x>0 sempre que definida, o que indica monotonicidade crescente nos ramos de continuidade.
– As identidades de ângulo incluem \sin\bigl(x+\tfrac\pi2\bigr)=\cos x e \cos\bigl(x+\tfrac\pi2\bigr)=-\sin x.
– No terceiro quadrante ( \pi<x<\tfrac{3\pi}2), \sin x e \cos x são ambos negativos, e \sin x=-\sqrt{1-\cos^2x}.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
– Dizem que \sin x é ímpar “isto é, \sin x=\sin(-x)”. Na verdade, ímpar significa \sin(-x)=-\sin(x), logo a igualdade escrita está invertida.
– Dizem que \cos x é par “satisfazendo \cos x=-\cos(-x)”. Mas par significa \cos(-x)=\cos(x), então também está invertido.
Portanto, a afirmação I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
– Como \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2x>0 em todos os intervalos onde \tan x está definida, a função é crescente em cada ramo (todos os quadrantes ímpares e pares, entre assíntotas). A afirmação de que seria decrescente nos quadrantes pares está incorreta.
Logo, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III:
– Se 0<x<\tfrac\pi2 e y=x+\tfrac\pi2, então
\sin y=\sin\bigl(x+\tfrac\pi2\bigr)=\cos x\neq\sin x
e
\cos y=\cos\bigl(x+\tfrac\pi2\bigr)=-\sin x\neq\cos x.
Portanto, afirmar \sin x=\sin y e \cos x=\cos y é falso.

Passo 5

Analisando a afirmação IV:
– Em \pi<x<\tfrac{3\pi}2, temos \cos x=-\tfrac13 e
\sin x=-\sqrt{1-\cos^2x}=-\sqrt{1-\tfrac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3},
pois no terceiro quadrante \sin x<0. A afirmação dá o valor positivo, então também está errada.

Passo 6

Concluímos que todas as quatro afirmativas (I, II, III e IV) são falsas.

Resposta

(e) 4

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