Indique o ÚNICO item verdadeiro.
(a) \cos (x+y)=\cos (x) \operatorname{sen}(y)-\cos (y) \operatorname{sen}(x)
(b) \cos (x-y)=\cos (x) \operatorname{sen}(y)+\cos (y) \operatorname{sen}(x)
(c) \operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)-\cos (y) \cos (x)
(d) \cos (x-y)=\cos (x) \cos (y)+\operatorname{sen}(y) \operatorname{sen}(x)
(e) \operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(x) \cos (y)-\operatorname{sen}(y) \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre os itens (a)–(e), qual fórmula trigonométrica de soma ou diferença de arcos é verdadeira. Vamos usar as identidades clássicas de adição e subtração para seno e cosseno.

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas:
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y
\cos(x-y)=\cos x\cos y + \sin x\sin y
\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y
\sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x\sin y

Passo 3

Comparando (a) e (b) com as identidades de cosseno:
Para (a) a questão afirma
\cos(x+y)=\cos x\operatorname{sen} y - \cos y\operatorname{sen} x,
mas a fórmula correta é
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y.
Logo (a) está errada.
Para (b) a questão afirma
\cos(x-y)=\cos x\operatorname{sen} y + \cos y\operatorname{sen} x,
porém o correto é
\cos(x-y)=\cos x\cos y + \sin x\sin y.
Então (b) também está errada.

Passo 4

Comparando (c) e (e) com as identidades de seno:
Para (c) a afirmação é
\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen} x\operatorname{sen} y - \cos y\cos x,
mas a fórmula correta é
\sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x\sin y.
Assim, (c) é falsa.
Para (e) a afirmação é
\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen} x\cos y - \operatorname{sen} y\cos x,
porém o certo é
\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y.
Logo (e) também está errada.

Passo 5

O item (d) afirma
\cos(x-y)=\cos x\cos y + \operatorname{sen} y\operatorname{sen} x.
Como \operatorname{sen} y\operatorname{sen} x=\sin x\sin y, isso coincide exatamente com
\cos(x-y)=\cos x\cos y + \sin x\sin y.
Portanto, (d) é o único verdadeiro.

Resposta

(d)

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