Determine as integrais:
integral(2+5 cos x)^3 sen x d x

Passo 1

Temos a integral integral (2 + 5cos x)^3 , sin x , dx. Isso é um caso clássico de substituição para simplificar uma composição de função.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 2 + 5cos x. Calculando o diferencial:
du = -5sin x,dx
Logo,
sin x,dx = -tfrac15,du

Passo 3

Fazendo a troca na integral original, fica:
integral (2+5cos x)^3,sin x,dx = integral u^3 l(-tfrac15,dur) = -tfrac15integral u^3,du

Passo 4

Agora integramos em u:
-tfrac15integral u^3,du = -tfrac15cdot tfracu^44 + C = -tfracu^420 + C

Passo 5

Por fim, retornamos à variável x substituindo u = 2 + 5cos x.

Resposta

-tfrac(2 + 5cos x)^420 + C

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