Determine as integrais: integral 8 x^2+x+1x^3-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma fração polinomial:
integral 8x^2 + x + 1x^3 - x , dx
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para integrar frações onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) . Observamos que:
Então, o denominador está fatorado como .

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 8x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1 , e tais que:

Passo 4

Para achar os valores de 8x^2 + x + 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1) , 8x^2 + x + 1 = A(x^2 - 1) + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx e 8x^2 + x + 1 = (A + B + C)x^2 + (B - C)x - A , vamos multiplicar ambos os lados da equação por A + B + C = 8 B - C = 1 - A = 1 para eliminar os denominadores:
2B = 10 Rightarrow B = 5
Expandindo cada termo:
5 + C = 9 Rightarrow C = 4
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Da segunda equação:
Agora, somamos as equações e :
Substituindo na equação :
Então, temos , e .

Passo 5

Agora que encontramos 8x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1) = -1x + 5x - 1 + 4x + 1 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x , dx + integral 5x - 1 , dx + integral 4x + 1 , dx
Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Aplicando isso a cada termo:
- ln|x| + 5 ln|x - 1| + 4 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a:
- ln|x| + 5, ln|x - 1| + 4, ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

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