Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma fração polinomial:
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para integrar frações onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observamos que:
Então, o denominador está fatorado como .
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Para achar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo cada termo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, somamos as equações e :
Substituindo na equação :
Então, temos , e .
Passo 5
Agora que encontramos 8x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1) = -1x + 5x - 1 + 4x + 1 , e , podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x , dx + integral 5x - 1 , dx + integral 4x + 1 , dx