Encontre e assinale o valor da área da região delimitada pelas parábolas y = x^2 e y = 2*x - x^2
a) 1/6
b) 1 / 5
c) 1/4
d) 1/3
e) 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área entre as parábolas e . Esse tipo de problema envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral. Vamos precisar descobrir onde as duas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se interceptam. Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Então, ou . Esses são os pontos de interseção.

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , vamos identificar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um ponto entre 0 e 1, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da função de cima menos a função de baixo, de a :
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A área da região delimitada pelas parábolas é . Portanto, a resposta correta é a alternativa d) .

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