Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de
. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando
quando o raio é de 12 m .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um incêndio que está se espalhando em forma de círculo. O raio desse círculo está aumentando a uma taxa de
. O que precisamos descobrir é quão rápido a área que está pegando fogo está aumentando quando o raio chegar a 12 metros. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da área de um círculo, que é
. Aqui,
é a área e
é o raio. Como o raio está mudando com o tempo, a área também vai mudar com o tempo. A gente quer encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para descobrir
, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do raio, que já sabemos que é
.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos na equação. Queremos saber
quando
:
Passo 5
Vamos calcular isso:
Resposta
A taxa de aumento da área incendiada é
.