Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 0,5 m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando m / min quando o raio é de 12 m .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um incêndio que está se espalhando em forma de círculo. O raio desse círculo está aumentando a uma taxa de . O que precisamos descobrir é quão rápido a área que está pegando fogo está aumentando quando o raio chegar a 12 metros. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da área de um círculo, que é . Aqui, é a área e é o raio. Como o raio está mudando com o tempo, a área também vai mudar com o tempo. A gente quer encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para descobrir , vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para funções compostas, temos:
Aqui, é a taxa de variação do raio, que já sabemos que é .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na equação. Queremos saber quando :

Passo 5

Vamos calcular isso:

Resposta

A taxa de aumento da área incendiada é .

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