Determine as integrais: integral x+7x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Isso ajuda a simplificar a fração para podermos decompor em frações mais simples.

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração x+7(x-3)(x+2) = Ax-3 + Bx+2 como a soma de duas frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x + 7 = A(x + 2) + B(x - 3) para eliminar os denominadores:
x + 7 = A x + 2A + B x - 3B
Agora, vamos expandir e reorganizar:
x + 7 = (A + B)x + (2A - 3B)

Passo 5

Para encontrar A + B = 1 e 2A - 3B = 7 , igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo com :
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equa�es:
  1. A = 1 - B \
  2. 2(1 - B) - 3B = 7
Da primeira equação, podemos isolar 2 - 2B - 3B = 7 :
2 - 5B = 7
Substituímos na segunda equação:
-5B = 5
B = -1
A + (-1) = 1
A = 2
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de x+7(x-3)(x+2) = 2x-3 + -1x+2 e 2x-3 - 1x+2 encontrados, podemos escrever a fração parcial:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( 2x-3 - 1x+2 ) dx = 2 integral 1x-3 dx - integral 1x+2 dx
A integral de 2 ln|x-3| - ln|x+2| + C é , então:

Resposta

2,ln|x - 3| - ln|x + 2| + C

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