Utilize as ferramentas matemáticas de limites e continuidade para calcular os limites abaixo:
(b) lim (x, y) (12, pi) x y^2 sen(x y)=pi^22

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, utilizando conceitos de continuidade e propriedades de limites. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e ver como elas se comportam quando lim (x, y) (12, pi) x y^2 , sen(x y) se aproxima de (x, y).

Passo 2

Primeiro, observe que a função é composta por três partes: x, y^2 e . Sabemos que funções polinomiais como sen(x y) e x são contínuas em todos os pontos, e a função seno, , também é contínua para todo y^2. Isso significa que podemos calcular o limite de cada parte individualmente e depois combinar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada fator separadamente:
  1. lim(x, y) (12, pi) x = 12
  2. lim(x, y) (12, pi) y^2 = pi^2
  3. Para , primeiro vamos encontrar o limite de sen(x y):
    x y
    Então,

Passo 4

Agora, multiplicamos os limites encontrados:

Resposta

O limite é pi^22.

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