Determine as integrais usando a regra da substituição.
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
usando a regra da substituição. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a dica:
. Então, a integral que queremos resolver é:
Passo 3
Agora, vamos usar a regra da substituição. A ideia é escolher uma parte da função que, ao ser derivada, apareça em outra parte da integral. Aqui, vamos deixar:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Observando a nossa integral, vemos que
é exatamente
. Então, substituindo na integral, temos:
Passo 6
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
mais a constante de integração
:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: