Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral cot x d x[ Dica: cot x=cos xsen x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de cot x em relação a x usando a regra da substituição. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a dica: cot x = cos xsin x. Então, a integral que queremos resolver é:
integral cot x , dx = integral cos xsin x , dx

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da substituição. A ideia é escolher uma parte da função que, ao ser derivada, apareça em outra parte da integral. Aqui, vamos deixar:
u = sin x

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx

Passo 5

Observando a nossa integral, vemos que cos x , dx é exatamente du. Então, substituindo na integral, temos:
integral cos xsin x , dx = integral 1u , du

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u mais a constante de integração C:
integral 1u , du = ln |u| + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sin x:
ln |sin x| + C

Resposta

Portanto, a integral de cot x em relação a x é:
integral cot x , dx = ln |sin x| + C

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