Determine y^prime prime se y é definida implicitamente por:
x^1 / 2+y^1 / 2=2

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^1/2+y^1/2=2
e pede a segunda derivada y''.
Conteúdo: diferenciação implícita, regra da cadeia e regra do produto para obter y' e depois y''.

Passo 2

Derivamos implicitamente em relação a x:
ddxl(x^1/2r)+ddxl(y^1/2r)=0
Aplicando regra da potência e cadeia:
12,x^-1/2+12,y^-1/2,y'=0
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y'=-tfrac12,x^-1/2tfrac12,y^-1/2 =-x^-1/2y^-1/2 =-y^1/2x^1/2

Passo 3

Para y'' escrevemos
y'=-,x^-1/2y^1/2
e aplicamos derivação do produto:
y''=-l(x^-1/2r)'y^1/2-x^-1/2l(y^1/2r)'
Calculamos cada termo:
l(x^-1/2r)'=-tfrac12,x^-3/2, l(y^1/2r)'=tfrac12,y^-1/2,y'
Portanto
y''=-l(-tfrac12,x^-3/2,y^1/2r) -;x^-1/2l(tfrac12,y^-1/2,y'r) =tfrac12,x^-3/2y^1/2 -tfrac12,x^-1/2y^-1/2y'

Passo 4

Substituímos y'=-y^1/2x^-1/2 no segundo termo:
-tfrac12,x^-1/2y^-1/2l(-y^1/2x^-1/2r) =+tfrac12,x^-1
Assim
y''=12,x^-3/2y^1/2+12,x^-1 =raizy2,x^3/2+12,x
Usando raizx+raizy=2 escrevemos tfrac12,x=tfracraizx2,x^3/2, então
y''=raizy+raizx2,x^3/2 =22,x^3/2 =1x^3/2

Resposta

y''=1x^3/2

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