Use a Regra da Cadeia para determinar o que se pede: ( 3,0 pontos)
Calcule d zd t, onde z=x^3+yx^2-y^2, x=2 s t, y=3 s+t, s=t-1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos
determinar dzdt para
z = x^3 + yx^2 - y^2,
sendo
x = 2 s t, y = 3 s + t e s = t - 1
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, onde usamos derivadas parciais de z e derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Expressar s, x e y em função de t:
s = t - 1 implica
x = 2,s,t = 2,t,(t-1) = 2t^2 - 2t,
y = 3,s + t = 3(t-1) + t = 4t - 3

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = ddt(2t^2 - 2t) = 4t - 2,
dydt = ddt(4t - 3) = 4

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de z(x,y):
Para z = x^3 + yx^2 - y^2, temos
partial zpartial x = 3x^2 - 2x y(x^2 - y^2)^2,
partial zpartial y = 1x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 - y^2)^2

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt
Substituindo as derivadas encontradas:
dzdt = l(3x^2 - 2xy(x^2 - y^2)^2r)(4t - 2) + l(1x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 - y^2)^2r)cdot 4,
e colocando x = 2t^2 - 2t e y = 4t - 3.

Resposta

dzdt = l(3(2t^2-2t)^2 - 2(2t^2-2t)(4t-3)l((2t^2-2t)^2-(4t-3)^2r)^2r)(4t-2) + l(1(2t^2-2t)^2-(4t-3)^2 + 2(4t-3)^2l((2t^2-2t)^2-(4t-3)^2r)^2r)!cdot 4

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