Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral raiz[3]3 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz[3]3x -1 , dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando a regra de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a integral e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da substituição. Ela é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A ideia é substituir a parte interna por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos identificar qual parte da nossa integral pode ser a função interna. Na expressão raiz[3]3x -1, a parte interna é 3x -1. Então, vamos chamar essa parte de u:
u = 3x - 1

Passo 4

Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx
Isso significa que podemos expressar dx em termos de du:
dx = du3

Passo 5

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral raiz[3]3x -1 , dx = integral raiz[3]u cdot du3 = 13 integral u^1/3 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/3 em relação a u. A regra de potência para integrais nos diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 13, então:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C

Passo 7

Voltando à nossa integral original, multiplicamos pelo fator 13 que tínhamos antes:
13 cdot 34 u^4/3 + C = 14 u^4/3 + C

Passo 8

Por fim, substituímos u de volta por 3x -1:
14 (3x -1)^4/3 + C

Resposta

A integral é igual a 14 (3x -1)^4/3 + C, onde C é a constante de integração.

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