Determine as integrais usando a regra da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando a regra de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a integral e encontrar a antiderivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da substituição. Ela é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A ideia é substituir a parte interna por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos identificar qual parte da nossa integral pode ser a função interna. Na expressão
, a parte interna é
. Então, vamos chamar essa parte de
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. A regra de potência para integrais nos diz que:
Aqui,
, então:
Passo 7
Voltando à nossa integral original, multiplicamos pelo fator
que tínhamos antes:
Passo 8
Por fim, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.