Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. (3,0 pontos)
lim (x, y) (0,0) tan (x^3+y^3)x+y

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis f(x,y)=tan(x^3+y^3)x+y quando (x,y)to(0,0). O conteúdo principal aqui é usar o comportamento de tan t quando t é pequeno (expansão de Taylor ou equivalente) e a fatoração de x^3+y^3.

Passo 2

Para (x,y)to(0,0), seja u=x^3+y^3. Sabemos que limuto0tan uu=1. Então podemos escrever
tan(x^3+y^3)x+y=tan uucdotux+y

Passo 3

Agora fatoramos u=x^3+y^3:
x^3+y^3x+y=(x+y)(x^2-xy+y^2),/,(x+y)=x^2-xy+y^2
Como (x,y)to(0,0), temos x^2-xy+y^2to0. Então
ux+yto0
e como tan uuto1, o produto vai para zero.

Passo 4

Portanto, pelo produto dos limites, o limite da função é 0.

Resposta

0

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