Determine as integrais, usando a técnica de substituição:
\int \frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+6 x+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+6x+2}}\,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo é reconhecimento de parte da derivada no numerador.

Passo 2

Note que o radicando é x^{2}+6x+2 e sua derivada é
\frac{d}{dx}(x^{2}+6x+2)=2x+6=2(x+3),
ou seja, o numerador x+3 é proporcional a essa derivada.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = x^{2}+6x+2,
temos
du = (2x+6)\,dx = 2(x+3)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x+3)\,dx = \tfrac12\,du.
Assim a integral fica
\int \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \tfrac12\,du = \tfrac12 \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integral em u:
\tfrac12 \int u^{-\tfrac12}\,du = \tfrac12 \cdot \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando a x:
u^{\tfrac12} = \sqrt{x^{2}+6x+2}.

Resposta

\sqrt{x^{2}+6x+2} + C

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