Determine as integrais, usando a técnica de substituição:
\int \frac{3 x}{\left(4-3 x^{2}\right)^{8}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x}{\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{8}}\,dx
usando a técnica de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4 - 3x^{2}.
Calculamos a diferencial:
du = -6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 3x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
\int \frac{3x}{\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{8}}\,dx = \int \frac{-\tfrac12\,du}{u^{8}} = -\tfrac12 \int u^{-8}\,du.

Passo 4

Integramos a potência de u. Como
\int u^{-8}\,du = \frac{u^{-7}}{-7},
segue que
-\tfrac12 \int u^{-8}\,du = -\tfrac12 \cdot \frac{u^{-7}}{-7} = \frac{1}{14}\,u^{-7} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, em que u=4-3x^{2}, obtemos
\frac{1}{14}\,(4-3x^{2})^{-7} + C.

Resposta

\frac{1}{14\,(4-3x^{2})^{7}} + C

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