Determine se a integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule seu valor se for convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência de
Trata-se de uma integral imprópria porque o integrando tem singularidade em
, que está no interior do intervalo de integração. Vamos usar o critério de comparação com limites laterais: dividimos em duas integrais próprias sobre
e
e verificamos se cada uma converge.
Passo 2
Escrevemos a integral como soma de duas parcelas impróprias:
Passo 3
Determinamos uma primitiva de
. Sabemos que
portanto
Passo 4
Avaliamo-nos a parte da esquerda:
Ao fazermos
,
e
. Logo essa parcela diverge.
Passo 5
Agora a parte da direita:
Ao fazermos
,
e
. Portanto esta parcela também diverge.
Passo 6
Como ao menos uma das semipartes (na verdade as duas) diverge para infinito (negativo ou positivo), a integral imprópria original não converge.
Resposta
A integral diverge.