Determine se a integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule seu valor se for convergente.
\int_{0}^{3} \frac{d x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-1}
Trata-se de uma integral imprópria porque o integrando tem singularidade em x=1, que está no interior do intervalo de integração. Vamos usar o critério de comparação com limites laterais: dividimos em duas integrais próprias sobre [0,1) e (1,3] e verificamos se cada uma converge.

Passo 2

Escrevemos a integral como soma de duas parcelas impróprias:
\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-1} =\lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}\frac{dx}{x-1} +\lim_{b\to1^+}\int_{b}^{3}\frac{dx}{x-1}.

Passo 3

Determinamos uma primitiva de \frac1{x-1}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x-1|\bigr)=\frac1{x-1},
portanto
\int\frac{dx}{x-1}=\ln|x-1| + C.

Passo 4

Avaliamo-nos a parte da esquerda:
\int_{0}^{a}\frac{dx}{x-1} =\bigl[\ln|x-1|\bigr]_{0}^{a} =\ln|a-1|-\ln|0-1| =\ln(1-a)-\ln1 =\ln(1-a).
Ao fazermos a\to1^-, 1-a\to0^+ e \ln(1-a)\to -\infty. Logo essa parcela diverge.

Passo 5

Agora a parte da direita:
\int_{b}^{3}\frac{dx}{x-1} =\bigl[\ln|x-1|\bigr]_{b}^{3} =\ln|3-1|-\ln|b-1| =\ln2 - \ln(b-1).
Ao fazermos b\to1^+, b-1\to0^+ e -\ln(b-1)\to +\infty. Portanto esta parcela também diverge.

Passo 6

Como ao menos uma das semipartes (na verdade as duas) diverge para infinito (negativo ou positivo), a integral imprópria original não converge.

Resposta

A integral diverge.

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