Nos exercícios de 7 a 12, ache o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo parabolóide z=4-r^2, pelo cilindro r=1 e pelo plano polar.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o volume do sólido limitado pelo paraboloide
z = 4 - r^2
pelo cilindro
r = 1
e pelo “plano polar”, isto é, pelo plano z=0.
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas cilíndricas, onde usamos r,theta,z e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração em coordenadas cilíndricas:
– O ângulo theta varia de 0 a 2pi.
– O raio r varia de 0 até o cilindro r=1.
– A altura z varia do plano inferior z=0 até o paraboloide z=4 - r^2.
Portanto, o volume é dado por
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=0^4 - r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^4 - r^2 r,dz = rl[zr]0^4 - r^2 = r,(4 - r^2)
Então
V = integral0^2pi integral0^1 r,(4 - r^2),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^1 (4r - r^3),dr = l[2r^2 - tfrac14r^4r]0^1 = 2 - tfrac14 = tfrac74
Logo
V = integral0^2pi tfrac74,dtheta = tfrac74 cdot (2pi) = tfrac7pi2

Resposta

V = tfrac7pi2

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