Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede: determinar a integral indefinida da função apresentada, ou seja calcular
Informações dadas: a integranda é
, a variável de integração é
(indefinida, sem limites) e devemos incluir a constante de integração (pois é uma integral indefinida).
Passo 2
O que significa "calcular
"? Significa encontrar uma função
tal que a derivada de
seja
. Em termos formais, procuramos
com
Qualquer duas primitivas diferem por uma constante, por isso a resposta terá uma constante arbitrária
. Ou seja, a integral indefinida tem a forma
.
Passo 3
Vamos lembrar (e provar rapidamente) uma identidade derivada-trig fundamental: a derivada de
é
. Isso mostra que
é uma primitiva de
.
Prova rápida usando definição de derivada:
.
Usando a fórmula trigonométrica , temos
Usando a fórmula trigonométrica
Ao tomar
usamos os limites padrão
e
. Portanto
Logo,
é uma primitiva de
.
Passo 4
Como encontramos uma função
cuja derivada é
, a integral indefinida é essa primitiva mais a constante
. Assim
Passo 5
Checagem (para ficar seguro): derivando o resultado obtemos
porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
. Isso confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Dica extra rápida para a prova: quando tiver
(com
constante), a primitiva é
pois a regra da cadeia na derivação dá essa compensação. Exemplo:
.