Determine a integral de cada função abaixo
int \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a integral indefinida da função apresentada, ou seja calcular
\int \cos x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \cos x, a variável de integração é x (indefinida, sem limites) e devemos incluir a constante de integração (pois é uma integral indefinida).

Passo 2

O que significa "calcular \int \cos x \, dx"? Significa encontrar uma função F(x) tal que a derivada de F seja \cos x. Em termos formais, procuramos F com
F'(x)=\cos x.
Qualquer duas primitivas diferem por uma constante, por isso a resposta terá uma constante arbitrária C. Ou seja, a integral indefinida tem a forma F(x)+C.

Passo 3

Vamos lembrar (e provar rapidamente) uma identidade derivada-trig fundamental: a derivada de \sin x é \cos x. Isso mostra que \sin x é uma primitiva de \cos x.
Prova rápida usando definição de derivada: \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.
Usando a fórmula trigonométrica \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h, temos
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Ao tomar h\to0 usamos os limites padrão \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0. Portanto
\frac{d}{dx}\sin x = \sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x.
Logo, \sin x é uma primitiva de \cos x.

Passo 4

Como encontramos uma função F(x)=\sin x cuja derivada é \cos x, a integral indefinida é essa primitiva mais a constante C. Assim
\int \cos x \, dx = \sin x + C.

Passo 5

Checagem (para ficar seguro): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin x + C\big) = \cos x,
porque a derivada de \sin x é \cos x e a derivada de uma constante é 0. Isso confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Dica extra rápida para a prova: quando tiver \int \cos(kx)\,dx (com k constante), a primitiva é
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C,
pois a regra da cadeia na derivação dá essa compensação. Exemplo: \displaystyle\int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x)+C.

Resposta

\sin x + C

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