Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e objetivo:
é a função a integrar. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja
), mais a constante de integração
. Note que a integral deve ser considerada em intervalos onde
(pois
não é definida quando
).
Passo 2
Vamos lembrar duas definições e uma identidade úteis:
e a identidade trigonométrica fundamental
A estratégia clássica aqui é reconhecer uma primitiva conhecida: a derivada de
está relacionada com
. Para justificar isso com cuidado, vamos calcular
usando a regra do quociente.
Passo 3
Aplico a regra do quociente. Se
e
, então, por regra do quociente,
Aqui
e
. Substituindo:
Usando
isso vira
Passo 4
Do resultado anterior temos uma equivalência direta para integrar: como
, segue que uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida:
ou seja, obtivemos exatamente o integrando; está correto.
Passo 6
Observações finais e dica de prova:
- Lembre-se de mencionar implicitamente que a primitiva vale em intervalos onde
(por exemplo , , etc.), porque e têm descontinuidades onde . - Se aparecer
, a regra é análoga: . Isso vem da regra da cadeia — boa coisa para decorar e usar rápido na prova. - Força aí — pratique mais algumas integrais trigonométricas semelhantes (como
e ) que elas se repetem bastante em prova!