Determine a integral de cada função abaixo
int \csc ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \csc^{2} x \, dx.
Informações dadas e objetivo:
\csc^{2} x é a função a integrar. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja \csc^{2} x), mais a constante de integração C. Note que a integral deve ser considerada em intervalos onde \sin x \neq 0 (pois \csc x = 1/\sin x não é definida quando \sin x=0).

Passo 2

Vamos lembrar duas definições e uma identidade úteis:
\csc x = \frac{1}{\sin x},\qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},
e a identidade trigonométrica fundamental
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
A estratégia clássica aqui é reconhecer uma primitiva conhecida: a derivada de \cot x está relacionada com \csc^{2}x. Para justificar isso com cuidado, vamos calcular \dfrac{d}{dx}\cot x usando a regra do quociente.

Passo 3

Aplico a regra do quociente. Se u(x)=\cos x e v(x)=\sin x, então, por regra do quociente,
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=-\sin x e v'=\cos x. Substituindo:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{\sin^{2}x} = \frac{-\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{2}x}.
Usando \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 isso vira
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{-1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.

Passo 4

Do resultado anterior temos uma equivalência direta para integrar: como \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^{2}x, segue que uma primitiva de \csc^{2}x é -\cot x. Portanto
\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida:
\frac{d}{dx}\bigl(-\cot x\bigr) = -\bigl(\frac{d}{dx}\cot x\bigr) = -\bigl(-\csc^{2}x\bigr)=\csc^{2}x,
ou seja, obtivemos exatamente o integrando; está correto.

Passo 6

Observações finais e dica de prova:
  • Lembre-se de mencionar implicitamente que a primitiva vale em intervalos onde \sin x\neq 0 (por exemplo (0,\pi), (\pi,2\pi), etc.), porque \csc x e \cot x têm descontinuidades onde \sin x=0.
  • Se aparecer \int \csc^{2}(ax)\,dx, a regra é análoga: \int \csc^{2}(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cot(ax)+C. Isso vem da regra da cadeia — boa coisa para decorar e usar rápido na prova.
  • Força aí — pratique mais algumas integrais trigonométricas semelhantes (como \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx e \int \tan x\,dx) que elas se repetem bastante em prova!

Resposta

-\cot x + C

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