Determine a integral de cada função abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
, a variável de integração é
, e trata-se de uma integral indefinida (logo a resposta deve conter uma constante de integração
). Observação importante: a função
está definida quando
, então a primitiva será válida em intervalos onde
não se anula.
Passo 2
Estratégia didática (o jeito mais direto): procurar uma função cuja derivada seja
. Uma tentativa natural é a função
, porque ela está relacionada a
. Vamos mostrar que
provando que
é uma primitiva de
.
Passo 3
Prova passo a passo usando regra do quociente. Escrevemos
. Aplicando a regra do quociente (se
então
), com
e
, temos:
Portanto
Usando a identidade pitagórica
, obtemos
Passo 4
Conclusão direta: como a derivada de
é
, então uma primitiva de
é
. Como a integral é indefinida, adicionamos a constante de integração
. Logo
Passo 5
Verificação rápida (para você usar na prova): diferencie a resposta
; a derivada de
é zero e já mostramos que
, logo a primitiva está correta.
Passo 6
Generalização útil para provas: se o integrando for
com
, use substituição
,
para obter
Dica prática: ao ver
pense imediatamente em
; isso costuma economizar tempo na prova.