Determine a integral de cada função abaixo
int \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2} x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{sec}^{2} x, a variável de integração é x, e trata-se de uma integral indefinida (logo a resposta deve conter uma constante de integração \,C). Observação importante: a função \operatorname{sec} x está definida quando \cos x \neq 0, então a primitiva será válida em intervalos onde \cos x não se anula.

Passo 2

Estratégia didática (o jeito mais direto): procurar uma função cuja derivada seja \operatorname{sec}^{2} x. Uma tentativa natural é a função \tan x, porque ela está relacionada a \operatorname{sec} x. Vamos mostrar que
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2} x,
provando que \tan x é uma primitiva de \operatorname{sec}^{2} x.

Passo 3

Prova passo a passo usando regra do quociente. Escrevemos \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a regra do quociente (se u(x)/v(x) então (u'/v - u v'/v^{2})), com u(x)=\sin x e v(x)=\cos x, temos:
u'(x)=\cos x,\qquad v'(x)=-\sin x.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big) = \frac{u'v - u v'}{v^{2}} = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}.
Usando a identidade pitagórica \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big) = \frac{1}{\cos^{2} x} = \operatorname{sec}^{2} x.

Passo 4

Conclusão direta: como a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2} x, então uma primitiva de \operatorname{sec}^{2} x é \tan x. Como a integral é indefinida, adicionamos a constante de integração \,C. Logo
\int \operatorname{sec}^{2} x \, dx = \tan x + C.

Passo 5

Verificação rápida (para você usar na prova): diferencie a resposta \tan x + C; a derivada de C é zero e já mostramos que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2} x, logo a primitiva está correta.

Passo 6

Generalização útil para provas: se o integrando for \operatorname{sec}^{2}(a x) com a\neq 0, use substituição u=a x, du=a\,dx para obter
\int \operatorname{sec}^{2}(a x)\,dx = \frac{1}{a}\tan(a x)+C.
Dica prática: ao ver \operatorname{sec}^{2} pense imediatamente em \tan; isso costuma economizar tempo na prova.

Resposta

\tan x + C

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